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数字点乘和叉乘区别用法

来源:www.guibinlaile.com 时间:2024-07-10 14:52:04 作者:一毛数字网 浏览: [手机版]

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数字点乘和叉乘区别用法(1)

在向量运算中,数字点乘和叉乘是两种常用的运算方式,们分别用于计算向量间的数量和向量原文www.guibinlaile.com。本将详细介绍数字点乘和叉乘的区别和使用方法。

数字点乘

  数字点乘,也称为向量点或内,是两个向量间的数量的计算方式如下:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$$

其中,$\vec{a}$和$\vec{b}$是两个向量,$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别是们的模长,$\theta$是间的夹角。

  数字点乘的结果是一个标量,表示两个向量间的夹角余弦值。如果两个向量的夹角为锐角,则结果为正值;如果夹角为钝角,则结果为负值;如果夹角为直角,则结果为0来源www.guibinlaile.com

  数字点乘的应用非常广泛,例如计算向量的投影、判断向量的正交性、计算向量的夹角等等。下面是一些数字点乘的例子:

  1. 计算向量$\vec{a} = (2,3)$在向量$\vec{b} = (1,1)$上的投影。

  首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点

  $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + 3 \times 1 = 5$$

  然后计算$\vec{b}$的模长:

$$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

  后计算投影长度:

  $$\operatorname{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3.54$$

  此,向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影长度为约3.54。

  2. 判断向量$\vec{a} = (1,2,3)$和向量$\vec{b} = (2,-1,0)$是正交。

  如果两个向量正交,则们的点为0一.毛.数.字.网此,我们计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 0 = 0$$

  此,向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$正交。

叉乘

  叉乘,也称为向量或外,是两个向量间的向量的计算方式如下:

$$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \hat{n}$$

  其中,$\vec{a}$和$\vec{b}$是两个向量,$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别是们的模长,$\theta$是间的夹角,$\hat{n}$是一个垂直于$\vec{a}$和$\vec{b}$所在平面的单位向量。

  叉乘的结果是一个向量,的方向垂直于$\vec{a}$和$\vec{b}$所在平面,符合右手定则,即将右手的指按照$\vec{a}$和$\vec{b}$的方向旋转到一起,拇指所指的方向就是叉乘的结果。叉乘的模长等于两个向量间的面一+毛+数+字+网

叉乘的应用也非常广泛,例如计算向量的法向量、计算平面的法向量、计算向量和平面的夹角等等。下面是一些叉乘的例子:

  1. 计算向量$\vec{a} = (1,2,3)$和向量$\vec{b} = (2,-1,0)$的叉乘。

  首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的模长:

$$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$$

$$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$$

  然后计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角的正弦值:

  $$\sin \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$

此,我们需要先计算$\vec{a} \times \vec{b}$的模长:

$$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + (-5)^2} = \sqrt{70}$$

  然后代入公式,得到:

  $$\sin \theta = \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{14} \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{35}}$$

后计算叉乘结果:

  $$\vec{a} \times \vec{b} = \frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta}{\hat{n}} = \frac{\sqrt{14} \sqrt{5} \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{35}}}{\hat{n}}$$

其中,$\hat{n}$是一个垂直于$\vec{a}$和$\vec{b}$所在平面的单位向量。我们可通过计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的叉的方向来确定$\hat{n}$的方向,即:

$$\vec{a} \times \vec{b} = (-3,-6,-5)$$

  此,$\hat{n}$的方向为$(\frac{-3}{\sqrt{70}},\frac{-6}{\sqrt{70}},\frac{-5}{\sqrt{70}})$。终结果为:

$$\vec{a} \times \vec{b} = (-\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{35}},-\frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{35}},-\frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{35}})$$

2. 计算平面$2x - y + 3z = 1$的法向量来自www.guibinlaile.com

  平面的法向量可通过平面上任意两个不平行的向量的叉来计算。例如,我们可取向量$\vec{a} = (1,0,0)$和向量$\vec{b} = (0,1,0)$,们在平面上且不平行。然后计算们的叉

$$\vec{a} \times \vec{b} = (0,0,1)$$

此,平面$2x - y + 3z = 1$的法向量为$(0,0,1)$。

数字点乘和叉乘区别用法(2)

总结

数字点乘和叉乘是向量运算中常用的两种运算方式。数字点乘用于计算向量间的数量,结果是一个标量,表示两个向量间的夹角余弦值;叉乘用于计算向量间的向量,结果是一个向量,其方向垂直于两个向量所在平面,符合右手定则,模长等于两个向量间的面www.guibinlaile.com。两种运算在向量运算中都有广泛的应用,们的使用方法对于进行向量计算非常重要。

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